量子计算

量子态与量子门

术语

dagger变换举例（注意所有元素都取共轭复数） $$ \begin{bmatrix} e+fi &c+di &D\\ a+bi &\dots &\dots\\ B &C &E \end{bmatrix} dagger变换:\\ \begin{bmatrix} e-fi &a-bi &D\\ c-di &\dots &\dots\\ B &C &E \end{bmatrix} $$ 投影矩阵：

量子计算机的DiVincenzo判据：5点（略了，沒勁

（因為是雙十節，所以之後會用正體字）

量子態：

量子疊加態:

量子糾纏態
量子糾纏：是量子疊加的必然結果 $$ 對drac幾號的解釋：\0態一般表示為： \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \ 1態表示為： \begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix} \ $$

基矢態的定義：任意兩個單位正交基。比如，+態和-態

對於疊加態中的係數 $\alpha \ \beta$ ,稱為復係數（或者振幅）。其中 ${|\alpha|}^2 $ 表示測量後得到0態的概率，${|\beta|}^2$ 表示測量後得到1態的概率。易得 $ {|\alpha|}^2+{|\beta|}^2 =1$

注意量子態的矢內積運算：

和普通向量的轉置不同（如 $A^T$），這裏的轉置需要將矩陣內的每一個元素變成它的共軛形式，所以做內積的時候，要讓行向量變成共軛它列向量的共軛形式

目的：確保內積結果為實數

不可克隆原理

不存在一個線性算符（線性變換），使得一個比特的量子態可以映射到相應的複製態：

簡單來說就是不存在上述的門電路，所以一個量子比特只能被測量一次

幾何表示

Bloch球可以表示一個單比特系統

$$ 令 \alpha=cos\theta e^{i\epsilon},\beta=sin\theta e^{i(\epsilon+\phi)},s.t. |\alpha|^2+|\beta|^2=1\ so,|\psi\rangle=e^{i\epsilon}(cos\theta |0\rangle+sin\theta e^{i\phi} |1\rangle) $$

\[ 因為e^{i\epsilon}對0態和1態都有影響,我們可以同時乘以一個複數e^{i(-\epsilon)},\\ 而且 e^{i(-\epsilon)}|\psi\rangle = |\psi\rangle,\\注意\vert\psi\rangle 代表集合等价类 \]

\[ {e^{i\alpha}\vert\psi\rangle\vert\alpha\in\mathbb{R}\},最後化簡得到： \\ \vert\psi(\theta,\phi)\rangle=\cos\frac{\theta}{2}\vert 0\rangle+e^{i\phi}\sin\frac{\theta}{2}\vert 1\rangle,\theta\in[0,\pi],\phi\in[0,2\pi]} \]

常見drac符號： $$ |0\rangle = (0,0,1)=(0,0) \ $$ $$ |1\rangle=(0,0,-1)=(π,0) \ $$ $$ |+\rangle=(1,0,0)=(π/2,0)\ $$ $$ |-\rangle=(-1,0,0)=(π/2,π) $$