信号处理

信号与系统

定义与概念

确定信号

随机信号

连续时间信号

离散时间信号

周期信号

运算

连续信号

指数信号： $$ \begin{align} ƒ(t)=A e^{\alpha t} \end{align} $$ 正弦信号：

单边衰减正弦信号

采样信号： $$ Sa(t)=\frac{\sin t}{t} \notag $$

\[ ∫_0^\infty\frac{\sin t}{t}dt=∫_0^\infty{\sin t}(∫_0^\infty e^{-tx}dx)dt\\ \notag \]

\[ 令I=∫_0^\infty \sin te^{-tx}dt\\ =\sin t(\frac{e^{-tx}}{-x})|_0^\infty - (∫_0^\infty {\cos t}(\frac{e^{-tx}}{-x})dt)\\ \notag \]

\[ =- ∫_0^\infty {\cos t}(\frac{e^{-tx}}{-x})dt=-\cos t(\frac{e^{-tx}}{x^2})|_0^\infty-∫_0^\infty {\sin t}(\frac{e^{-tx}}{x^2})dt\\ \notag \]

\[ =1-∫_0^\infty {\sin t}(\frac{e^{-tx}}{x^2})dt=1-\frac{1}{x^2}I\\ \notag \]

\[ 则 I=\frac{x}{x^2+1}\\ 原式=∫_0^\infty\frac{x}{x^2+1}dx= \]

单位斜变信号(R(t))

单位阶跃信号(u(t))

gate函数(矩形函数)：

符号函数(sgn(t))

冲激信号：

离散信号

信号频域分析

傅立叶级数

\[ ∫_{-T/2}^{T/2}f(x)dx=∫_{-T/2}^{T/2}\frac{a_0}{2}dx+∫_{-T/2}^{T/2}\sum_{n=1}^{\infty}a_n\cos nw_0xdx+∫_{-T/2}^{T/2}\sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin nw_0xdx \]

\[ \notag a_0=\frac{2}{T}∫_{-T/2}^{T/2}f(x)dx \]

\[ \notag a_n=\frac{2}{T}∫_{-T/2}^{T/2} \cos(nw_0x)f(x)dx \]

\[ \notag b_n=\frac{2}{T}∫_{-T/2}^{T/2} \sin(nw_0x)f(x)dx \]

\[ \notag \cos nw_0x=\frac{e^{inw_0x}+e^{-inw_0x}}{2} \]

\[ \notag \sin nw_0x=\frac{-i(e^{inw_0x}-e^{-inw_0x})}{2} \]

\[ f(x)=\frac{1}{2}a_0+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2}(a_n-ib_n)e^{inw_0x}+\sum_{n=-\infty}^{-1}\frac{1}{2}(a_{-n}+ib_{-n})e^{inw_0x} \]

\[ =\sum_{n=-\infty}^{\infty}d_ne^{inw_0x} \notag \]

\[ \begin{cases} d_n=\frac{1}{2}(a_{n}-ib_{n}) (n>0)\\ d_n=\frac{1}{2}a_0\\ d_n=\frac{1}{2}(a_{n}+ib_{n})(n<0) \end{cases} \]

$$ \begin{equation} \notag d_n=\frac{1}{T}∫_{0}^{T}e^{-inw_0x}f(x)dx \ \end{equation} $$

\[ f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}(\frac{1}{T}∫_{0}^{T}e^{-inw_0t}f(t)dt)e^{inw_0x} \]

傅立叶变换

非周期函数可以看做是周期 $T→+∞$ 的周期函数，当 $T=+∞$时，基频率$ ω0=2π/T$ 就变成了微分 $dω$，同时求和$\sum nw_0$就变成了求积分$∫_{-\infty}^{+\infty}dw_0$ 。

令 $w=\frac{w_0}{2\pi}=\frac{1}{T}$，则当 $T→+∞$ 时，$w为dw$

\[ f(x)=∫_{-\infty}^{\infty}(∫_{-\infty}^{\infty}e^{-i2πwx}f(x)dx)e^{i2πwx}d(w) \]

进一步化简

\[ f(x)=\frac{1}{2π}∫_{-\infty}^{\infty}(∫_{-\infty}^{\infty}e^{-iwt}f(t)dt)e^{iwx}dw \]

傅立叶变换：

\[ F(w)=∫_{-\infty}^{\infty}e^{-iwx}f(x)dx \]

傅立叶逆变换：

$$ f(x)=\frac{1}{2π}∫_{-\infty}^{\infty}F(w)e^{iwx}dw $$ $F(w)$ 是$f(x)$ 的傅立叶变换或频谱密度函数

$f(x)$ 是$F(w)$ 的傅立叶反变换或原函数

常用信号的傅立叶变换

单边指数函数

\[ f(t)=e^{-\alpha t}\varepsilon (t) (\alpha>0) \notag \]

\[ F(jw)=∫_{-\infty}^{\infty}e^{-iwx}e^{-\alpha x}\varepsilon (x)dx=∫_{0}^{\infty}e^{-(\alpha+iw)x}dx=\frac{1}{\alpha+jw} \notag \]

双边指数函数

\[ f(t)=e^{-\alpha |t|}(\alpha>0) \notag \]

\[ F(jw)=\frac{2\alpha}{\alpha^2+w^2} \notag \]

门函数

\[ \notag g(t) \begin{cases} =1 (|t|≤\tau)=\lim_{\alpha\to 0}e^{-\alpha |t|} \\ =0 (|t|>\tau) \end{cases} \]

\[ \notag F(jw)=\frac{1}{-jw}(e^{-jw\tau/2}-e^{jw\tau/2})=2\sin(w\tau /2)/w=\tau Sa(\frac{w\tau}{2}) \]

单位冲激函数

\[ \delta(t) \notag \]

\[ \notag F(jw)=∫_{-\infty}^{+\infty}\delta(t)e^{-jwt}dt=1 \]

冲激函数的抽样性质： $$ ∫_{−∞}^{\infty} f(t)δ(t−t_0 )dt=f(t_0) $$

\[ \delta(at)=\frac{1}{|a|}\delta(t) \notag \]

\[ \delta(t-t_0)=\delta(-(t_0-t))=\delta(t_0-t) \notag \]

直流信号

\[ \notag f(t) =1=\lim_{\alpha\to 0}e^{-\alpha |t|} \]

\[ F(jw)=\lim_{\alpha \to0}\frac{2\alpha}{\alpha^2+w^2} \notag \]

当 $\alpha\to0$时，$\frac{2\alpha}{\alpha^2+w^2}$ 为一个冲激函数。之后我们要寻找这个冲激函数

\[ ∫_{-\infty}^{\infty}F(jw)dw=\lim_{\alpha \to0}∫_{-\infty}^{+\infty}\frac{2\alpha}{\alpha^2+w^2} dw \notag \]

\[ =\lim_{\alpha \to0}∫_{-\infty}^{+\infty}\frac{2}{1+(\frac{w}{\alpha})^2} d(\frac{w}{\alpha})=\lim_{\alpha\to0}2\arctan(\frac{w}{\alpha})|_{-\infty}^{\infty}=2π \notag \]

所以

\[ ∫_{-\infty}^{\infty}F(jw)dw=\lim_{\alpha \to0}∫_{-\infty}^{+\infty}\frac{2\alpha}{\alpha^2+w^2} dw \notag=2π∫_{-\infty}^{+\infty}\delta(w)dw \]

因此： $$ F(jw)=2π\delta(w) \notag $$